こんにちは、岡さん。
私はゲームデザイナーといって、ゲームを作る仕事をしていますが、
オンラインゲームにかかわったことは1タイトルしかありません。
そのため、オンラインゲームの製作にはくわしくないのですが、
回答がないようですので、わかる範囲で回答していきますね。

①オンラインゲームを作ってる人は何しているの？

ゲームを作っています。
オンラインゲームといっても、おおくの部分はふつうのゲームとおなじです。
プランナー、プログラマー、グラフィックデザイナー、サウンドコンポーザーなどの
職種の人と、それらをまとめるディレクターやプロデューサーがいます。

オンラインゲームの場合、これらの仕事にくわえて、サーバの管理者や、
サーバのプログラマーなどがいます。
オンラインゲームだと、ユーザーがそれぞれ遊んでいるパソコンやＰＳ3だけでなく、
多くのユーザーをつなげて、情報のやりとりをする「サーバ」が必要です
（この「サーバ」はでっかいコンピュータだと思ってください）。
サーバは、一度に、何千人、何万人という人がつかいますので、
情報のやりとりがうまくいくように、それなりのプログラムを組む必要があります。
また、情報がぬすまれないように、セキュリティをしっかりとしないといけませんし、
情報が消えてもだいじょうぶなように、バックアップもしっかりしないといけません。
この、サーバの運用が、ふつうのゲームとオンラインゲームとの大きなちがいです。

②オンラインゲームを作っている人は社内でその作っているゲームができますか？

私の場合、スタッフ用のIDとパスワードをもらい、ゲームをプレイすることができました。
オンラインゲームの場合、「ゲームが完成したらおわり」ではなく、
じっさいにゲームを運用していかなければなりません。
あそんでいる人が、ゲームの中でどんな風にあそんでいるか、
イカサマをしていないか、トラブルがないかなど、チェックする必要があります
（ゲーム内をパトロールを専門にする仕事もあるくらいです）。
ですので、完成したゲームを実際にあそんでみるのも、大切な仕事のうちです。
ただし、現実問題として、いそがしくてなかなかプレイする時間がない、
という場合もあります（私はそうでした）。
あと、一般のユーザーとの不公平をなくすために、一般のユーザーとのやりとりに、
制限がある場合もあります。

③別の会社のオンラインゲームをやってもいいんですか？

私は会社員ではなく、外部のスタッフなので、そういった制限はありませんでした。
もしかしたら、他社のオンラインゲームへの参加について、
いろいろきまりをつくっている会社もあるかもしれませんね
（別のオンラインゲームの製作スタッフということを明かしてはいけない、とか）。
そのあたりはよくわかりません。
ただ、ゲームをつくる上では、他社のゲームがどんなかんじなのか、
研究することは大切です。
ですので、他社のゲームにも参加して、研究していると思いますよ
（勤務時間中にやっていいのか、プライベートな時間にやっているかは別として）。