こんにちは、マスさん。
純粋な数学の仕事、応用する仕事については、ほほほのほさんが説明されてますので、
私はちょっと変わりダネを紹介しますね（軽い気持ちで読んでください）。

私は、トレーディングカードゲームのゲームデザイナーをやっています。
「オレのターン！　デッキから1枚ドロー！」とかやってるゲームですね。
このトレーディングカードゲームの、世界ではじめてのゲームデザイナー、
つまり、トレーディングカードゲームの考案者、リチャード・ガーフィールドは、
数学博士です。

また、世界で最も人気があるといっても過言ではない、ボードゲームのゲームデザイナー
ライナー・クニツィアも数学博士です。

このように、（ＴＶゲームではない）アナログのゲームのゲームデザインと、
数学は相性がよいようです。

マスさんのお知り合いの男の子は、数学の問題を解くことが好きみたいですが、
確かにゲームデザインは、数学の問題を解くことに似ています。
また同時に、ゲームを遊ぶ人に数学の問題をあたえるような仕事です。
アナログゲームのゲームデザイナーは、日本に何人もいない珍しい仕事ですが、
まあ、「こんな仕事もあるんだ」くらいに思ってください。

普通に考えれば、学校の数学教師が思いつきます。
大学へ行き研究者・・・という道も、まぁ数学教師(講師・(准)教授)という事が
できるでしょう。

基礎的な学問なので応用の仕事はたくさんありますが、
純粋に数学のみという職業はほとんどないような気がします。

工学系の仕事は数学を基礎としていますが、
それ以外の要素も数多くあります。

むしろ、文系とされる、金融工学の方が生み出す「現物」
がないだけに純粋に数学だけの世界かもしれません。
(経験はないのであしからず。)

あとは・・・
公務員などで統計や計量を扱うような仕事でしょうか。
これも、数学以外の要素がたくさんあると思いますが・・・